伽罗华环上λ-循环码的结构

The Structure of λ-Cyclic Codes over Galois Rings

一些重要的二元非线性码是Z4上线性码在Glay映射下的像集,因而需要对有限环上的线性码特别是循环码的研究给予特别关注.设p是素数,R=GR(ps,pms)是特征为ps并且元素个数为psm的Galois环,选定λ∈R并且λ是非零因子.设C是R上的长为n的线性码,如果c=(c0,c1,…,cn-1)∈C都有(λcn-1,c0,c1,…,cn-2)∈C,则称是R上长为n的λ-循环码.R上的λ-循环码可以等同于商环Rλn=R[x]/〈xn-λ〉中的理想.设xn-λ=f1…fk,fi=(xn-λ)/fi,其中f1,…,fk是R上两两互素,首项系数为1的基本不可约多项式,证明了Rλn中的任何理想都是形如〈pj fi+〈xn-λ〉〉的一些理想的内直和,其中0≤j≤s,1≤i≤k;Rλn共有(s+1)k个理想;R[x]/〈xn-λ〉是主理想环.

Important families of binary non-linear codes are image under a Glay map of linear codes of over Z 4.Therefore it is of interest to study linear codes,in particular cyclic codes,over finite rings.Let pbe a prime,R=GR（p s,p ms） a Galois ring of characteristic p s and cardinality p sm,λ∈Rnon-zero divisor,Let Cbe linear code with length nover R.Cis calledλ-cyclic with length nover Rif whenever c=（c 0,c 1,…,c n-1） ∈C,（λc n-1,c 0,c 1,…,c n-2） ∈C.λ-cyclic codes over Rcan be regarded as ideals of the quotient ring R λ n =R [x]/〈 x n-λ 〉.Let x n-λ=f 1 … fk,fi =（x n-λ）/ fi,where f 1,… fk are pairwise coprime monic basic irreducible polynomials over R.It is proven that any ideal of R λ n is a direct sum of ideals of the type 〈 pjfi ＋ 〈 x n-λ 〉〉,where 0≤j≤s,1≤i≤k;the number of ideals of R λ n is（s＋1） k;R [x /〈xn-λ 〉 is a principal ideal ring.