柯西不等式的一个简单证明及应用

柯西不等式设 ai>0 ,bi>0 , i=1 ,2 ,… ,n。( ∑ni =1a2i) ( ∑ni =1b2i) ( ∑ni =1aibi) 21 证明设 A=∑ni =1a2i, B=∑ni =1b2i, C=∑ni =1aibi则 ABC+ 1 =∑ni =1a2i BC2 + ∑ni =1b2i B =∑ni =1( a2i BC2 + b2i B) ∑ni =12 aibi C=2所以 ABC+ 1 2 ,即 AB C2。2 应用利用柯西不等式推导空间一点 p( x0 ,y0 ,z0 )到直线 L: Ax+ By+ Cz+ D=0的距离公式d=| Ax0 + By0 + Cz0 + D|A2 + B2 + C2设 p1( x1,y1,z1)是直线 L: Ax+ By+ Cz+ D= 0上任一点则有Ax1+ By1+ Cz1+ D=0则 | pp1| =( x0 - x1) 2 + ( y0 - y1) 2 + ( z0 - z1) 2 的最小值就是 p到直线 L的距离。由柯西不等式 ,得A2 + B2 + C2 · ( x0 - x1) 2 + ( y0 - y1) 2 + ( z0...