一道复数竞赛题的探索

Probe into A Competition Problem of Complex Number

2000年全国高中数学联赛吉林赛区初赛试题: 若|z|=1,则u=|z3-3z+2|的最大值是 . 原解:u=|z3-3z+2| =|(z3-z)-2(z-1)| =|(z-1)(z2+z)-2(z-1)| =|(z-1)2(z+2)|. 设z=x+y i(x、y∈R),由|z|=1得x2+y2=1,且|x|≤1.则 u=[(x-1)2+y2]2[(x+2)2+y2] =(-2x+2)2(4x+5) =[(2-2x)(2-2x)(4x+5) ≤((2-2x)+(2-2x)+(4x+5))/(3)〗3 =33. 当且仅当2-2x=4x+5,x=-(1)/(2),即z=-(1)/(2)±(3)/(2) i时, umax=33. 解答之余,意犹未尽,题中的三次方和解中的可以因式分解与使用重要不等式是否都有效等均令人深思,特别是觉察到 u=|z-1|2|z+2| 的几何意义时,更激发了探索的热情.