一个命题的推广

The Generalization of a Proposition

课堂上,老师介绍了一个命题: 对任何自然数n,存在自然数m,使得 (2-1)n=m+1-m. 我注意到*#2-1=2-1也是两个连续自然数的平方根的差,便问老师: 能否将*#2-1换成p+1-p? 老师说:这个想法很好!我们还没有看到过现成的结论,值得探索. 经过努力,我终于得到如下的推广. 推广:对任何自然数p、n,存在自然数m,使得 (p+1-p)n=m+1-m. 证明:证明一个更强的结论: 对任何自然数p、n,存在自然数m,使得 (p+1-p)n=m+1-m, 且p(p+1)m(m+1)是平方数. 对n归纳.当n=1时, (p+1-p)1=p+1-p. 此时m1=p,p(p+1)m1(m1+1)=[p(p+1)]2为平方数,结论成立. 设n=k时结论成立,即 (p+1-p)k=mk+1-mk, 且p(p+1)mk(mk+1)为平方数.