关于多元函数极值的教学研究

【正】高等数学中关于多元函数极值的理论,对于解决实际生活中的最值（极值）问题十分有用。在讲述这部分内容时,与一元函数极值的理论相对比,学生易于接受。从多元函数极值与一元函数极值定义形式上来看,比较相似,但是,对于多元函数极值来说,一元函数极值的许多性质往往不能平移到多元函数极值问题上。下面通过例题来讨论多元函数极值应该注意的几个问题。（仅以二元函数为例） 1.一元函数y=f（x）在x0的邻域内可微,f’（x0）=0,且在x0的邻域内,当x【x0时,;x】x0时,,那么,f（x0）是f（x）的局部极大值（极小值）。由此可见,讨论一元函数极值只需考虑在x0左右两侧的导数情况,即可得出结论。但是对于二元函数z=f（x,y）来说,情况则复杂得多。 例如:在全平面内可微。则:f（x,0）=-x2在x=0处有极大值;f（0,y）=-y2在y=0处有极大值。 二元函数在点（0,0）处,虽然从x轴方向和y轴方向来看都是极大值,但f（x,y）在（0,0）处确不是极大值。 若令y=x,则:在（0,0）处是极小值。 所以,总的来说,二元函数在（0,0）处无极值。 本例说明,对于多元函数极值,仅仅知道函数在几个方向上的极值情况是不能确定函数在某邻域内的极值情况的。 2.一元函数中,若f（x）在定义域内具有多个极大（小）值,则它必有极小（大）值,并且,极大（小）值点和极小（大）值?