利用方程组求解不定积分

【正】求解不定积分,解方程的技巧是常用的。基于同样的想法,对于某些不定积分,可以构造方程组,适当降低难度,求解不定积分。 引理:若求integral（P（x）dx）,构造integral（Q（x）dx） 则 :integral（[P（x）+Q（x）]dx）=f（x）+C1 integral（[P（x）-Q（x）]dx）=g（x）+C2 则 :integral（P（x）dx）=1/2[f（x）+g（x）+C 同时 :integral（Q（x）dx）=1/2[f（x）-g（x）]+c’ 引理的证明是显然的,关键是构造Q（x）。为叙述方便,以下略去常数C。 （一）从函数的构造上出发,寻找对称式,构造出Q（x）.至少可使方程组中的一个好积。下面的例子多是从sinx到cosx的对称。 例1:求integral（sin2xdx） 解: 记上式为M,N=integral（cos2xdx） M+N=x ,N-M=1/2sin2x 从而 例2:求integral（sin（lnx）dx） 解: M=integral（sin（lnx）dx） ,N=integral（cos（lnx）dx） M+N=integral（sin（lnx）dx）+integral（xdsin（lnx））=xsin（lnx） -M+N=integral（xdcoslnx）+integral（coslnxdx）=xcos（lnx）