余元公式的一个简洁证明

欧拉积分中的余元公式为 B(a,1-a)=(a)·(1-a)=π/(sinaπ) (0【a【1)(*) 在几乎所有的数学分析教材中均作了介绍,但都没有给出证明,究其原因;一方面余元公式有相当的重要性,如欧拉乘积公式,拉阿伯积分等均离不开它;但另一方面,余元公式的证明又很复杂,不便编于教材。在T·M·菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》中所述的两种证明方法便可见证明之难度。本文对余元公式做了一些研究,发现在许多数学分析教材中均有下面将要论述的两个例题,利用这两个例题便容易证得余元公式。可惜数学分析教材却没能这样做。