摘要
众所周知的费马定理是:若p是素数,（a,p）=1,则a<sup>p-1</sup>≡1（modp）. 但它的逆命题:“若（a,p）=1,且a<sup>p-1</sup>≡1（modp）,那么p是素数”是不是成立呢?回答将是否定的.我们看一个例子: 设=1398101,a=2,则（a,p）=1,而因为p-1=2·11·63550,故2<sup>p-1</sup>-1=2<sup>2·11·63550</sup>-1;(4<sup>111·63550</sup>-1=(4<sup>11</sup>-1)A=（4-1）(4<sup>10</sup>+4<sup>9</sup>+…+1)A=3·1398101·A=3·p·A（A是整数） ∴2<sup>p-1</sup>-1≡0（modp）,即2<sup>p-1</sup>≡1（modp）. 但是p=1398101=23·89,683不是素数.我们称这样的数为伪素数,其一般定义如下: 定义 若2<sup>n-1</sup>≡1（modn）,且n为合数,则称n是伪素数. 在数论上称形如 M<sub>p</sub>=2<sup>p</sup>-1（p为素数）的数为梅生数,
