整函数及其若干性质

有时我们把多项式a0+a1x+…+anxn称为有理整函数.把 ax（a】0,a≠1）,sinx,cosx等称为超越整函数.那么,究竟什么是整函数?它们之间有哪些联系?又有哪些本质上不同的特性呢?本文试图在这些方面加以阐明.某些性质的推导,我们将采取不太严格的证明.一、整函数的概念在实数集上处处收敛的幂级数:a0+a1x+a2x2+…+anxn+…（1）是多项式概念的自然推广.事实上,当级数（1）从某项开始,后面各项的系数皆为零时,（1）就是一个多项式.在中学数学中,就曾讨论过一种简单的幂级数:1+x+x2+…+xn+…它在|x|【1时收敛.在|x|?≥1时不收敛（发散）.级数（1）在数轴上处处收敛的充分必要条件是（?）n|an|（1/2）=0 （2）有时使用级数（1）在数轴上处处收敛的充分条件（不是必要条件）:（?）an+1/an=0 （2）’会更为方便些.例如:对于幂级数1+x/1!+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…由于（?）[1/（n+1）!/（1/n!）]=0.所以,它是处处收敛的.它的和函数为ex。