关于一道例题的注记

许多数学分析教科书在中值定理这一部分内容中都讲到了下面的一道例题,且证法类似(参见[1]、[2])。笔者认为,这道例题的结论是对的,但这些证明是不完全的。本文先指出其证明缺陷之所在,再给出严密的证明。为了便于讨论,先将[1]中第209页例4抄录如下: 例如果函数f(x)在点α的邻域内连续,除α外可导,且(?)f′(x)=ι,则函数f(x)在点α可导,且f(α)=ι。