用希尔伯特空间理论讨论傅立叶级数

函数和它的傅立叶级数之间的关系,常见的有下列四种。命题1 （狄里赫勒定理）若f（x）∈C[-π,π),或在[-π,π]上只有有限个第一类间断点,并且可以把[-π,π]分为f（x）的有限个单调区间,则有f（x）=a0/2+sum from i=1 to ∞（aicosix+bisinix）（1）其中x∈（-π,π）为f（x）的连续点,ai,bi为f（x）的傅立叶系数（以下同）。当x∈（-π,π）为f（x）的间断点时,则（1）式友端改为[f（x—0）+f（x+0）]/2。当x=±π时,则（1）式左端改为[f（-π+0）+f（π-0）]/2。命题2 若f（x）∈L2[-π,π],则对任意确定的n,有||f（x）—a0/2—sum from i=1 to n（a1cosix+bsinix）||2