柯西不等式的直接证明与指数推广

著名的柯西不等式为 (sum from i=1 to n (a_i^2))(sum from i=1 to n (b_i^2))≥(sum from i=1 to n (a_ib_i))~2. (1) 关于(1)式,一般参考书上是采用构造函数,利用判别式间接进行证明的。本文首先给出(1)式的一个直接的简捷证明,然后利用算术-几何平均值不等式给出(1)式的指数推广。