非正(负)定四维流形中的浸入球

IMMERSED SPHERES IN INDEFINITE 4-MANIFOLDS

一、引言设 M^(2n)是单连通光滑流形,ξ∈π_n(M^(2n)),则ξ由 S^n 到 M^(2n) 的连续象表示,一个熟知的事实是当 n>2时,可以用 Whitney 技巧找到一个光滑嵌入球表示ξ,但当 n=2时,Whitney技巧失效,由此产生一个问题:设 M 是单连通4-流形,则 π_2(M)的每个元由 S^2到 M 的连续映射表示,这种映射能否同伦于一个嵌入呢?由于 M 单连通,这个问题也可以说成是否每个二维同调类都可由光滑嵌入的 S^2表示?答案通常是否定的.但由于 S^2在 M^4中有较高的余维数,因而这样的连续映射一定同伦于一个只有有限个二重点的浸入 S^2→M^4.一个更广泛的问题是:对于一个给定的同调类 u∈H_2(M,Z),表示它的浸入球至少可以有几个二重点?当二重点个数为0时便转化为前一个问题.

The minimal number of double points of immersed 2-spheres in indefinite 4-manifoldsCP^2 #m (?) is studied and a lower bound is given.Combining with the action of orthogonalgroups,a complete answer is given to whether a 2-dimensional homology class with positivesquare can be represented by an embedded sphere for m=2 or 3.The representability of someinteresting cases is also proved for general m.