摘要
定理设函数z=f(x,y)在点P_0(x_0,y_0)的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又f_x(x_0,y_0)=0,f_x(x_0,y_0)=0,令f_(xx)(x_0,y_0)=A,f_(xy)(x_0,y_0)=B,f_(yy)(x_0,y_0)=C,则: (1)当AC—B^2>0时,f(x_0,y_0)是极值,且当A<0时,f(x_0,y_0)是极大值;当A>0时,f(x_0,y_0)是极小值。 (2)当AC—B^2<0时,f(x_0,y_0)不是极值。 (3)当AC—B^2=0时,f(x_0,y_0)可能是极值,也可能不是极值,还需另作讨论。此定理的证明有多种方法,在此不再赘述。本文给出一种简单的方法,该方法比较直观,易为学生所接受。根据二元函数的Taylor公式,对于任一(x_0+h,y_0+k)∈U(P_0),注意到定理的条件f_x(x_0,y_0)=0和f_y(x_0,y_0)=0,有: △f=f(x_0+h,y_0+k)—f(x_0,y_0)
