关于群定义中封闭性的独立性问题

The Independence about the Closeness of the Group Definition

群的等价定义是相当多的,在各种教科书和专著中,包括一些经典著作中,都毫无例外地把封闭性作为一条群公理列入群的定义。实际上,在有的定义里封闭性並不是独立的,或者说是多余的;但在有的定义里封闭性却又是独立的,或者说是必不可少的。本文仅就最常见的几个定义,来探讨其封闭性的独立性问题。至于群定义中其余条件的独立性,均早有判定,这里不赘述。但封闭性的独立性问题,对不同形式的定义会有不同的结论,这一点却是易于忽视的。

In this paper, it is deduced that the closeness is not independent in some group definitions, and that the closeness is independent in other group definitions.