锥束重建的Smith—Grangeat方法的分析

Analysis of Cone-beam Reconstruction Formulas of Grangeat and Smith

ＣＴ机、ＳＰＥＣＴ及ＰＥＴ等医疗设备是当前重要的医疗诊断工具，但这些设备都跟某些射线有关，当放射性元素衰变而发射某种射线时，如果它们在４π立体角范围内是等概率分布的，则扇形采集比在单个方向上采集的效率提高了许多，我们在一个立体角范围内采集数据，无疑会使采集效率更大的提高。从八十年代开始，美国、德国以及法国的许多研究人员着手设计锥束扫描和探测的装置及研究相应的重建计算方法，并且研制出相应实验设备对人体的一些脏器比如心脏、肝以及肾等做了试验。对于锥束投影重建，主要存在两个问题；第一，能不能通过锥束投影将原图像完全恢复出来；第二，如果能够重建，那么点源的运动轨道应满足什么样的条件。锥束投影的重建很早就有人从积分几何和表示理论的观点进行了研究，其中主要包括前苏联数学家Ｏｅｌｆａｎｄ等人的工作，基本上解决了上述的问题。与此同时由于应用的需要，许多人从计算的角度来研究重建计算的实现问题。Ｓｍｉｔｈ通过详细分析Ｋｉｒｉｌｌｏｖ的工作，得到了精确重建的充分必要条件，并设计出相应的数值计算方法．Ｓｍｉｔｈ的方法非常类似於二维重建的卷积反投影计算步骤，它是一种行之有效的计算方法．但在Ｓｍｉｔｈ的论证过程中有一些错误，即在卷积计?

First,we give a simplification proof of Grangeat's fundamental relation,then obtain a precisely necessary and sufficient conditions for complete reconstruction.Second,we analyze some formulas discussed by Smith and partially noted by Defrise et al and deducethat some formulas introduced by Smith are only approximating equations for finite orbits.