等参梯度映射Brouwer映射度的计算

设M,N是m维定向闭流形,g:M→N是光滑映射。众所周知,g的Brouwer映射度(简称映射度),其中y是g的任一正则值。当M=N=S^(n+1)时,g的同伦类[g]∈π_(n+1)S^(n+1)≌Z完全由g的映射度确定。而讨论π_(n+1)S^(n+1)中元的调和表示是一个重要的研究课题。因此计算映射的映射度成为必要。 设g:R^(n+2)→R为k次等参多项式(定义见第1节),则Φ=(1/k)▽f为R^(n+2)→R^(n+2)的齐次映射,Φ|S^(n+1)为S^(n+1)→S^(n+1)的映射。彭家贵、唐梓洲利用活动标架法和等参超曲面的几何,根据映射度的几何定义求出了等参梯度映射Φ的映射度,从而给了球面之间新的调和映射。本文根据映射度的拓扑定义,首先研究Φ的切映射与f的Hessian之间的关系,然后用类似于文献[4]的方法对等参多项式进行分解,并求出其中某些部分的明确表达式,从而得出所有Φ的映射度。