惯量任意的符号模式(英文)

Sign Patterns with Arbitrary Inertia

矩阵A的特征值的集合(含重数)记为σ(A),A的惯量是指三元有序数组i(A)=(i+(A),i-(A),i0(A)),其中i+(A),i-(A)和i0(A)分别表示具有正,负,零实部特征值的个数.n阶符号模式矩阵S=(sij)是指元素取自{1,-1,0}或者{+,-,0}的矩阵,S的定性矩阵类是指集合Q(S)={A=(aij)∈Mn(R):对所有的i和j,sign(aij)=sij}.S的惯量是指集合i(S)={i(A):A∈Q(S)}.若对任意满足n1+n2+n3=n的非负三元数组(n1,n2,n3),都有(n1,n2,n3)∈i(S),则称符号模式S为惯量任意模式.考虑n阶符号模式Kn=(kij)n×n:当1≤j-i≤n-2或i=j=n时,kij=1;当1≤i-j≤n-2或i=j=1时,kij=-1;当|i-j|=n-1时,kij可以取任意固定值;其余情形时,kij=0.本文证明了Kn(n≥3)是惯量任意模式.

The set of all eigenvalues （counting multiplicities） of a matrix A is denoted by σ（A） ,and the inertia of A is the ordered triple i（A）=（i＋ （A）,i_（A）,io（A））,in which i＋ （A）,i_（A） and io（A） are the numbers of eigenvalues with positive, negative and zero real parts, respectively. An n × n sign pattern S=（sij ） has sij∈ { 1,-1,0} or sij ∈ { ＋,-, 0 }, and the qualitative class of S is Q（S） = {A= （aij）∈ M. （R） ： sign（aij ） = sij for all i,j}. The inertia of S is the set of ordered triplesi（S）={i（A）：A∈Q（S）}. An n×n sign pattern S is an inertially arbitrary pattern （IAP） if （n1,n2,n3）∈ i（S） for each nonnegative triple （n1 ,n2, n3 ） with n1 ＋ n2 ＋ n3 = n. Consider the n × n sign pattern Kn, where K. is the pattern with positive entry （i,j） for 1≤ j-i≤n-2 or i=j=n,negative entry （i,j） for 1≤ i-j≤n-2 or i=j=1,arbitrary entry （i,j） for ｜i-j｜ =n-1 and zero entry otherwise. In this paper,it is proved that K, is an IAP for n≥3.