两种算术函数上下界的讨论

Upper and Lower Bounds of Two Arithmetic Function

在自然数中，任意自然数ｎ都可由若干个１通过加、减、乘法运算表示出来；也可以去掉减号，由若干个１通过加和乘法表示出来。在ｎ的所有可能的表示法中，我们分别用ｆ（ｎ）和ｇ（ｎ）记这两种表示法中包含１的个数最少的那种表示法中所含１的个数，参考文献［１］中给出了ｆ（ｎ）的一个较强的上下界估计，本文进一步证明了不等式３ｌｏｇ３ｎ≤ｆ（ｎ）≤３．６８ｌｏｇ３ｎ３ｌｏｇ３ｎ≤ｇ（ｎ）≤４．７６ｌｏｇ３ｎ并讨论了∑ｎ≤ｘｆ（ｎ），∑ｎ≤ｘｇ（ｎ）。

On the natural numbers , let f(n) be the lease mumber of ones that can be used to represent n using ones and number of +,-and × signs;let g(n) be the least number of ones that can be used to represent n using ones and any number of + and × sings. The is to give an estimate of upper and lower bounds of f(n).This paper is to prove 3 log 3n≤f(n)≤3.68 log 3n 3 log 3n≤g(n)≤4.76 log 3n and discuss the asymptotic characteristic of ∑n≤x f(n) and ∑n≤x g(n).