关于有限群的幂零性与p-幂零性的一些判别(英文)

Some Criteria for Nilpotence and p-Nilpotence of Finite Groups

主要证明了如下两个定理:(1)假设N是有限群G的一个正规子群使得G/N是p-幂零群.如果N的Sylowp-子群P与G的p-幂零剩余Gp-N之交P∩Gp-N中每个p阶或4阶(当p=2的时候)元素均含于Z(NG(P))中,则G是p-幂零群.(2)假设H是有限群G的一个正规子群使得G/H是幂零群.如果对于|H|的每个素因数p和H的Sylowp-子群P,P与G的p-幂零剩余Gp-N之交P∩Gp-N中每个p阶或4阶元素x都是N(P)的一个弱左Engle元素,则G是幂零群.

The main object of this paper is to show the following two theorems ： （ 1 ） Let N be a normal subgroup of a finite group G such that G/N is p-nilpotent. If every element of Pf∩3 G^p-N with order p or 4 （ when p=2 ） lies in Z（ NG （P） ）, where P∈ Sylp, （N） and G^p-N is the p-nilpotent residual of G, then G is p-nilpotent. （2） Let H be a normal subgorup of a finite group G such that G/H is nilpotent. If, for all prime divisors p of I HI and P∈Sylp, （ H）, x is a weak left Engle element of NG（P） for each element x of P∩G^p-N with order p or 4 （when p=2 ） , where G^p-Nis the p-nilpotent residual of G, then G is nilpotent.