对称矩阵空间上保幂等性的映射(英文)

Maps on spaces of symmetric matrices preserving idempotence

设F是一个域,Mn(F)是域F上的n×n矩阵空间,Sn(F)是Mn(F)中对称矩阵的全体.对Mn(F)中的任一线性子空间V,记IV为V中所有幂等元的集合.设V∈{Sn(F),Mn(F)},对任意的A,B∈V和λ∈F,如果A-λB幂等当且仅当Φ(A)-λΦ(B)幂等,则称映射Φ:V→V是保幂等性的.证明了:如果F的特征为0,Φ:Sn(F)→Sn(F),则Φ是一个保幂性映射当且仅当存在Mn(F)中的一个可逆阵P使得对Sn(F)中的每一个A都有Φ(A)=PAP-1,其中P满足PtP=aIn,a为F中的一个非零元.

Suppose F is an arbitrary field. Let Mn（F） be the linear space of all n × n matrices over F, and let S. （F） be the subsets of Mn （F） consisting of all symmetric matrices. For a linear sudspace V of M （F）, we denote by IV the subset of V consisting of all idempotence. Let V ∈ { Sn （F） ,Mn （F） } , a map Ф：V→V is said to preserve idempotence irA - λB is idempotent if and only if Ф（A） - λФ（B） is idempotent for any A, B ∈ V and λ ∈ F. When the characteristic of F is 0, it is shown that Ф ： Sn （F）→ Sn （F） is a map preserving idempotence if and only if there exists an invertible matrix P ∈ Mn （F） with P^tP = al. for some nonzero scalar a in F such that Ф（A） = PAP^-1 for every A ∈ Sn（F）.