初等算子在一秩算子类上的范数

Norms of elementary operators on rank-one operators

设A=(A1,A2,…,An),B=(B1,B2,…,Bn),其中Ai,Bi∈B(H),i=1,2,…,n,定义初等算子RA,B:B(H)→B(H),MA1,B1:B(H)→B(H),分别为RA,B(X)=∑ni=1AiXBi,MA1,B1(X)=A1XB1,X∈B(H).记d(RA,B)为RA,B作用在H上所有的单位一秩算子的范数的上确界.利用d(RA,B)=∑ni=1‖Ai‖‖Bi‖成立的充要条件及正规代数数值域的定义,研究了d(RA,B)的一些性质,给出了n=2时d(RA,B)=‖A1‖‖B1‖+‖A2‖‖B2‖成立的新的充要条件并且估计了d(MA1,B1+MI,B2)的下界.

For two n-tuples A=（A1 ,A2,…,An）,B=（B1 ,B2,…,Bn）,Ai,Bi ∈ β（H）, i= 1,2,…,n, theelementary operators RA,B;β（H）→β（H） and MA1,B1：β（H）→β（H） are defined respectively by RA,B（X）=∑i=1^nAiXBi,MA1,B1（X）=A1SB1,AX∈β（H） ,d（RA,B）is denoted by the supremum of the norm of RA,B over all unit rank one operators on H.According to the sufficient and necessary conditions for d（RA,B） =∑i=1^n｜｜Ai｜｜ ｜｜Bi｜｜and the definition of the normalized algebraic numerical range, some properties of d （RA,B） are studied. And a new sufficient and necessary condition for d（RA.B）=｜｜A1｜｜ ｜｜B1｜｜＋｜｜A2｜｜ ｜｜B2｜｜ for n=2 and the lower bound of d（MA1,B1 ＋ M1,B2 ） are given.