一道国外竞赛题的多种解法

题目如图1，已知⊙I、⊙O分别为△ABC的内切圆、外接圆，⊙I分别切BC、CA、AB于点D、E、F．作圆ωa、ωb、ωc，记ωa切⊙I、⊙O于点D、K，ωb切⊙I、⊙O于点E、M，ωc切⊙I、⊙O于点F、N．证明：