一个关于非直谓语句的逻辑系统

A Logic for Impredicative Sentences

非直谓现象普遍存在于许多领域中。在数学中,对集合的最小元的定义是非直谓的。在逻辑中,罗素悖论的产生是由于允许非直谓地定义一个集合,即"所有不包含它自身的集合的集合"。莱布尼兹对"同一性"的定义——"a与b是相同实体当且仅当对所有性质f,如果f(a)则f(b),反之亦然"——是非直谓的。罗素构造分歧类型论的动机不是来自形式系统的悖论,而是来自日常语言中的悖论。本文的目标是构造一个量化命题逻辑来刻画关于特定的非直谓语句的推理。一个非直谓语句的表达预设了一个语句集,一个典型的非直谓语句是"拿破仑具备一名伟大将军的所有德性"(罗素的例子)。本文所关注的是"一阶"非直谓语句,即仅预设直谓语句集的非直谓语句。非直谓语句的一个性质是:一个非直谓语句等价于它所预设的语句集中的成员(可能无穷)的合取。这一性质需要在要构造的逻辑系统的句法中被表达出来,而针对此本文所采用的手段是在命题逻辑系统的符号中加入"命题量词",也就是说本文要构造一个量化命题逻辑系统。在形式化部分,本文给出了这个逻辑的句法、语义、希尔伯特公理系统和它的完全性证明。

We propose in this paper a Quantified Propositional Logic to deal with impredicative sentences that presuppose totalities of predicative sentences. A typical instance of such sentences, which is due to Russell, is ＇Napoleon has all qualities of a great general＇. A property of these sentences is that they are equivalent to （possibly infinite） conjunctions of all sentences that they refer to. We formulate a Quantified Propositional Logic that can express this property. A Hilbert-style calculus and its completeness are given.