关于 Hermite 矩阵的任意扰动

On Arbitrary Perturbations of Hermitian Matrices

给出了如下的Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵特征值的可计算的扰动界：设Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵Ａ的特征值为α１，α２，…，αｎ，矩阵Ｂ的特征值为λ１，λ２，…，λｎ，则存在｛１，２，…，ｎ｝的一个排列π使得对１≤ｊ≤ｎ均有｜αｊ－λπ（ｊ）｜≤‖Ａ－１２（Ｂ＋ＢＨ）‖２＋‖１２（Ｂ－ＢＨ）‖Ｆ并且还存在｛１，２，…，ｎ｝的一个排列π′，使得∑ｎｊ＝１｜αｊ－λπ′（ｊ）｜２≤‖Ａ－１２（Ｂ＋ＢＨ）‖Ｆ＋‖１２（Ｂ－ＢＨ）‖Ｆ其中‖·‖２表示谱范数，而‖·‖Ｆ表示Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数。

The following computable perturbation bounds of eigenvalues of Hermitian matrices are given: Let A be a n×n Hermitian matrix with eigenvalues α1,α2,…,αn and B be a n×n matrix with eigenvalues λ1,λ2,…,λn. Then there exists a permutation π of the set {1,2,…,n} such that|αj-λπ(j)|≤‖A-12(B+BH)‖2+‖12(B-BH)‖Ffor j=1,2,…,n, and there exists a permutation π′ of the set {1,2,…,n} such that∑nj=1|αj-λπ′(j)|2≤‖A-12(B+BH)‖F+‖12(B-BH)‖Fwhere ‖·‖2 denotes the spectral norm, and ‖·‖F the Frobenius norm.