杨洪苍不等式的推广

A Generalization of Yang Hongcang's Inequality

设D为n维Euclid空间R^n的一个有界区域,且0<λ_1<λ_2≤λ_3≤…≤λ_k≤…,是l阶Laplace算子的Dirichlet问题{(-△)~lu=λu,在D中,u=u/n=…=^(l-1)u/n^(l-1)=0,在D上的特征值,其中l是正整数,n表示边界D的外法向量.该文得到了该问题用其前k个特征值来估计第(k+1)个特征值λ_(k+1)的不等式∑_(i=1)~k(λ_(k+1)-λ_i)[λ_(k+1)-(1+ 4l/n+2l-2)λ_i]∫_D|▽^(l-1)u_i|~2≤0.此不等式不依赖于区域D.u_i是相应于特征根λ_i的特征函数.当l=1时得到了杨洪苍的不等式,所以上述不等式是杨洪苍不等式的一个推广.

Let D be a connected bounded domain in an n-dimentional Euclidean space R^n. Assume that 0 〈 λ1 〈 λ2 ≤λ3 ≤... ≤λk ≤... , are eigenvalues of Laplacian operator with any order 1 for the Dirichlet problem： {（-△）^lu=λu,in D; u=δu/δn=…=δ^l-1u/δn^1-1=0,onδD, } where l ∈ N^＋, n is the unit outward normal to δD. Then we obtain an upper bound of the （k ＋ 1） - th eigenvalue λk＋l in terms of the first k eigenvalues. This inequality k is independent of domain D, that is, we prove the following： ∑ i=1（λk＋1-λi）[λk＋1-（1＋4l/n＋2l-2）λi]∫D｜△↓^l-1ui｜^2≤0 . ui is the corresponding eigenfunction with eigenvalue λi. When l is 1, we recover Yang Hongcang＇s inequality.