摘要
设Ｅｎ中ｎ维单形Δｎ的宽度以及内切球半径、ｎ维体积、侧面的ｎ－１维体积、棱长、中线长、外接球半径分别为ω（Δｎ），ｒ（Δｎ），Ｖ（Δｎ），Ｖ（Ｆｋ），ρｉｊ，ｍｋ，Ｒ（Δｎ），本文证明了存在仅与维数ｎ有关的绝对常数ａｎ，ｂｎ，ｃｎ，ｄｎ，ｅｎ，ｇｎ，满足不等式链ω（Δｎ）≤ａｎｒ（Δｎ）≤ｂｎＶ１ｎ（Δｎ）≤ｃｎ［∏ｎ＋１ｋ＝１Ｖ（Ｆｋ）］１ｎ２－１≤ｄｎ∏１≤ｉ＜ｊ≤ｎ＋１ρ２ｎ（ｎ＋１）ｉｊ≤ｅｎ（∑１≤ｉ＜ｊ≤ｎ＋１ρ２ｉｊ）１２＝ｆｎ（∑ｎ＋１ｋ＝１ｍ２ｋ）１２≤ｇｎＲ（Δｎ），其中所有等号当且仅当单形Δｎ正则时成立．
Let ω(Δ n) denote the width of non degenerate Δ n in E n and r(Δ n),V(Δ n),V(F k),ρ ij ,m k,R(Δ n) denote the inradius, n volume, (n-1) volume, edge length, mid line length, circumradius of the simplex, respectively. We prove the following:ω(Δ n)≥a nr(Δ n)≤b nV 1n (Δ n)≤c n[∏n+1k=1V(F k)] 1n 2-1 ≤d n∏1≤i<j≤n+1ρ 2n(n+1) ij ≤e n(∑1≤i<j≤n+1ρ 2 ij ) 12 =f n(∑n+1k=1m 2 k) 12 ≤g nR(Δ n),where equalities holds if and only if the simplex is regular.
