最大公因式的另一种求法

在《高等代数》的各种教材中,关于一元多项式的最大公因式的求法已有许多介绍,如辗转相除法,因式分解法等.但是辗转相除法书写起来颇为繁琐,即会用分离系数法,往往仍有累赘之感.因式分解法虽从理论上来讲是可行的,但实际分解每一个多项式来求最大公因式确是一件繁重的工作.本文利用矩阵的行初等变换来解决这个问题.命题1:设F为数域,f1（x）,f2（x）∈F（x）,令d（x）=（f1（x）,f2（x））,对于任取c1·c2≠0,φ1（x）,φ2（x）∈F（x）,则有:（f1:（x）,f2（x））=（f2（x）,f1（x））=(c1f1（x）,f2（x）=（f1（x）,c1f2（x））=（f1（x）,f2（x）+f1（x）φ（x））=（f1（x）+f2（x）φ2（x）,f2（x））=d（x）证明:现只证明（f1（X）,f2（X）+f1（X）+φ1（X））=d（X）,其它类同.∵d（X）=（f1（x）,f2（x））∴d（x）|f1（x）且d（x）|f2（X）∴d（X）|（f2（X）+f1（X）φ1（X））∴d（x）为f1（x）和f2（X）+f1（X）φ（x）的一个公因式现设φ（x）为f1（x）和f2（x）+f1（X）φ1（x）的任一公因式,则φ（x）|f1（x）且平φ（x）|（f2（x）+f1（X）φ1（X））=φ（X）|f2（x）∵φ（X）|d（x）∴由最大公因式的定义和d（x）的唯一性知（f1（x）,f2（x）+f1（X）φ1（x））=d（x）可将这个结论运用数学归纳法推广到n个一元多项式的情形: