摘要
设任意实数a<sub>i</sub>,b<sub>i</sub>（i=1,2,……,n）,有（a<sub>1</sub>b<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>b<sub>2</sub>+……a<sub>n</sub>b<sub>n</sub>）<sup>2</sup>≤（（a<sub>1</sub>）<sup>2</sup>+（a<sub>2</sub>）<sup>2</sup>+……+（a<sub>n</sub>）<sup>2</sup>）(b<sub>1</sub><sup>2</sup>+b<sub>2</sub><sup>2</sup>+……+b<sub>?</sub><sup>2</sup>)即（sum from i=1（a<sub>i</sub>b<sub>i</sub>））<sup>2</sup>≤sum from i=1（a<sub>i</sub>）<sup>2</sup>·sum from i=1（b<sub>i</sub><sup>2</sup>）,并且当且仅当a<sub>i</sub>/b<sub>i</sub>=k;即a<sub>i</sub>与b<sub>i</sub>（i=1,2,……,n）成比例时取等号.这个不等式叫做柯西不等式.其证明方法在此省略,主要说明其应用方法.柯西不等式是一个重要的数学不等式,在中学教材中未提及,但在教学过程中若能适时地引入,可以大大简化解题过程,拓宽视野,起到事半功倍的作用,本文特举几例说明如下:例1 求证ac+bd≤（a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>·（c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>在中学阶段一般采用比较法或分析法,当ac+bd≤0时不等式显见成立.当ac+bd】0时用分析法.欲证ac+bd≤（a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>·（c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>,只须证（ac+bd）<sup>2</sup>≤（a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>）（c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>）即 2abcd≤a<sup>2</sup>d<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>c<sup>2</sup>即（ad—bc）<sup>2</sup>≥0显见最后一个不等式成立.所以ac+bd≤（a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>·（c<sup>2</sup>+d<sup>2</sup>）<sup>1/2</sup>。其实由柯西不等式有:
出处
《内蒙古师范大学学报（教育科学版）》
1998年第4期87-88,79,共3页
Journal of Inner Mongolia Normal University:Educational Science Edition
