摘要
方程3<sup>x</sup>+4<sup>x</sup>=5<sup>x</sup>有一个根x=2,它还有没有其它根?为回答这个问题,本文给出一个一般性命题。命题方程sum from i=1 to n a<sub>i</sub><sup>x</sup>=b<sup>x</sup>（0【a<sub>i</sub>【6,i=1,2,…,n）有且仅有一个根,且在区间（s,t）内,这里s,t分别是 -log<sub>b</sub><sup>a</sup>1<sup>n</sup>,-log<sub>b</sub><sup>a</sup>2n,…,log<sub>b</sub><sup>a</sup>n<sup>n</sup>中的最小、最大者。 （1） 证明:作辅助函数f（x）=sum from i=1 to n（a<sub>i</sub>/b）-1,则由0【a<sub>i</sub>【b知,0【a<sub>i</sub>/b【1,∴（a<sub>i</sub>/b）为单调递减函数,∴f（x）为单调递减函数,故方程f（x）=0 至多有一个实根。令（a<sub>i</sub>/b）<sup>x</sup>【1/n,得x】-log<sub>1</sub><sup>a</sup>i<sup>n</sup>。
