摘要
1988年全国高中数学联赛第一试最后一题:已知a、b为正实数,且1/a+1/b=1,试证对每一个n∈N, （a+b）<sup>n</sup>-a<sup>n</sup>-b<sup>n</sup>≥2<sup>2n</sup>-2<sup>n+1</sup>（*） 这个不等式从形式上看较难证明,经过研究,笔者发现它有许多证法,择其简单的四种介绍如下: 证一应用二项式定理,得（a+b）<sup>n</sup>-a<sup>n</sup>-b<sup>n</sup>=C<sub>n</sub><sup>1</sup>a<sup>n-1</sup>b+C<sub>n</sub><sup>2</sup>a<sup>n-2</sup>b<sup>2</sup>+… C+<sub>n</sub><sup>n-1</sup>ab<sup>n-1</sup> （1）根据组合数性质C<sub>n</sub><sup>k</sup>=C<sub>n</sub><sup>n-k</sup>,由（1）得（a+b）<sup>n</sup>-a<sup>n</sup>-b<sup>n</sup>=C<sub>n</sub><sup>1</sup>ab<sup>n-1</sup>+C<sub>n</sub><sup>2</sup>a<sup>2</sup>b<sup>n-2</sup> 十…+C<sub>n</sub><sup>n-1</sup>a<sup>n-1</sup>b
