最小二乘法原理的初等证明——兼谈求直线型经验公式的最佳方法

高中数学《解析几何》里,求直线型经验公式的方法是选点法和平均值法。(注1)这两种方法得出的经验公式,近似程度都比较差(用偏差平方和来衡量)。众所周知,用最小二乘法求出的直线型经验公式,能使偏差平方和达到最小,是最佳近似公式(注2)。自然会想到,如果能教给高中学生理解并会使用用最小二乘法求直线型经验公式,这对于扩大学生知识面,提高学生解决实际问题的能力是大有好处的。问题的难点是,最小二乘法原理的证明,涉及到《高等代数》中的许多知识,特别是《欧氏空间》一章中的不少概念和性质(例如欧氏空间,欧氏空间的子空间,向量空间的基,向量与子空间的正交。