摘要
高中代数第二册中有这样的两个不等式:已知a,b∈R<sup>+</sup>,并且a≠b,那么a<sup>3</sup>+b<sup>3</sup>】a<sup>2</sup>b+ab<sup>2</sup>;a<sup>5</sup>+b<sup>5</sup>】a<sup>3</sup>b<sup>2</sup>+a<sup>2</sup>b<sup>3</sup>。本文将其推广为更一般的不等式。即下面的 [定理] 设a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,…,a<sub>n</sub>,m,a,k∈R<sup>+</sup>,且m=a+（n-1）k,n≥2,则a<sub>1</sub><sup>m</sup>+a<sub>2</sub><sup>m</sup>+…+a<sub>n</sub><sup>m</sup>≥a<sub>1</sub><sup>a</sup> a<sub>2</sub><sup>k</sup>…a<sub>n</sub><sup>k</sup>+a<sub>1</sub><sup>k</sup>a<sub>2</sub><sup>a</sup>a<sub>3</sub><sup>k</sup>…a<sub>n</sub><sup>k</sup>+…a<sub>1</sub><sup>k</sup>…a<sub>n-1</sub><sup>k</sup>a<sub>n</sub><sup>a</sup>…（A）成立。（当且仅当a<sub>1</sub>=a<sub>2</sub>=…=a<sub>n</sub>时取“=”号）。证:对n用数学归纳法。①当n=2时,m=a+k,a<sub>1</sub><sup>m</sup>+a<sub>2</sub><sup>m</sup>-（a<sub>1</sub><sup>a</sup>a<sub>2</sub><sup>k</sup>+a<sub>1</sub><sup>k</sup>a<sub>2</sub><sup>a</sup>）=（a<sub>1</sub><sup>a</sup>-a<sub>2</sub><sup>a</sup>）（a<sub>1</sub><sup>k</sup>-a<sub>2</sub><sup>k</sup>）≥0,仅当a<sub>1</sub>=a<sub>2</sub>时取“=”号。命题成立。
