E-凸集上的函数的半连续性与E-拟凸性

Semi-continuity and E-quasiconvexity of Functions on E-convex Set

给出E-凸集上函数的半连续性与E-拟凸性之间的关系:M是Rn中的非空E-凸集,E(M)是凸集,f是M上的上半连续(或下半连续)实值函数,那么f是M上的E-拟凸函数当且仅当存在α∈(0,1),使得f(αE(x)+(1-α)E(y))≤max{f(E(x)),f(E(y))},x,y∈M.

In this paper, we show semi-continuity and E-quasiconvexity of functions on E-convex set. We prove the following result： let M be a nonempty E-convex set of R^n, E（M） be a convex set,f be an upper（or a lower） semi-continuous function on M, then f is a E-quasiconvex function on M if and only if there exists a∈（0,1）,such that f（aE（x）＋（1-a）E（y））≤max{f（E（x））,f（E（y））},∨x,y∈M.