两两NQD序列密度函数核估计的相合性

Consistencies for Kernel-type Density Estimation in the Case of Pairwise NQD Random Sequences

目的探讨两两NQD随机变量序列的密度核估计是否具有与NA序列密度核估计类似的相合性.方法设{Xn,n 1}为同分布的两两NQD随机变量序列,f(x)为X1的概率密度函数.基于样本X1,X2,…,Xn,给出了密度函数f(x)的核估计,在一定条件下,结合NA序列的相关结果的证明方法,引证后经过认真严谨的推导得出结论.结果(1)两两NQD序列的r阶平均相合性:(i)limn→∞E|fn(x)-f(x)|r=0,(ii)E|fn(x)-f(x)|r=O(n-r4);(2)逐点强相合性:fn(x)-f(x)→0,a.s.,对f(x)的任何连续点x成立;(3)一致强相合性:limn→∞sxu∈Ip|fn(x)-f(x)|=0,a.s.结论两两NQD随机变量序列的密度核估计具有较好的相合性.

Objective To discuss the consistencies of the kernel-type density estimation in the case of pariwise NQD random sequences. Method Let {Xn, n≥1} be a sequence of identically distributed and pariwise NQD random variables with probability density function f（x）. Based on pairwise NQD samples, the kernel estimator for f （x） is constructed. Under some conditions, referring to the result of NA random sequences, this paper derives the result seriously and rigorously. Result （1） The consistency in rorder mean： （i） limE ｜ fn（x） --f（x）｜r=0, （ii） E｜f（x） --f（x） ｜ r=O （nr/4）; （2） the pointwise strong consistency： fn （x） --f （x） →0, a. s. （3） the strong uniform consistency is shown under suitable conditions： limsup｜fn（x）-f（x）｜=0, a.s.. Conclusion The kernel-type density estimation in the case of pariwise NQD random sequences possesses the consistencies.