关于正态分布的次序统计量的随机序

On Stochastic Orders for Order Statistics from Normal Distributions

设X_1,X_2,…,X_n和X_1~*,X_2~*,…,X_n~*分别服从正态分布N(μ_i,σ~2)和N(μ_不~*,σ~2),以X_((1)),X_((1))~*分别表示X_1,…,X_n和X_1~*,…,X_n~*的极小次序统计量,以X_((n)),X_((n))~*分别表示X_1,…,X_n和X_1~*,…,X_n~*的极大次序统计量.我们得到了如下结果:(i)如果存在严格单调函数,使得(f(μ_1),…,f(μ_n))≥m(f(μ_1~*),…,f(μ_n~*)),且f′(x)f″(x)≥0,则X_((1))≤_(st)X_((1))~*;(ii)如果存在严格单调函数,使得(f(μ_1),…,f(μ_n))≥m(f(μ_1~*),…,f(μ_n~*)),且f′(x)f″(x)≤0,则X_((n))≥_(st)X_((n))~*.(iii)设X_1,X_2,…,X_n和X_1~*,X_2~*,…,X_n~*分别服从正态分布N(μ,σ_i^2)和N(μ,σ_i^(*2)),若(1/σ_1,…,1/σ_n)≥m(1/σ_1~*,…,1/σ_n~*),则有X_((1))≤st X_((1))~*和X((n))≥st X_((n))~*同时成立.

In this paper we obtain some new results on stochastic orders for order statistics from normal distributions. Let X1,…,Xn,X1^＊,…,Xn^＊ be independent normal random variables with Xi- N（μi,σ^2）and Xi^＊-N（μi^＊,σ^2）, i = 1,…,n. Suppose that there exists a strictly monotone function f such that （f（μ1）,…,f（μn））≥m（f（μ1^＊）,…,f（μn^＊））, we prove that： （i） if f′（x）f″（x）≥0, then X（1） ≤st X（1）^＊; （ii） if f′（x）f″（x）≤0, then X（n） ≥st X（n）^＊. Moreover, let Xi - N（μ,σi^2） and Xi^＊ - N（μ,σi^＊2）, i = 1,…,n. We obtain that（1/σ1,…,1/σn）≥m（1/σ1^＊,…,1/σn^＊） implies that X（1） ≤st X（1）^＊ and X（n） ≥st X（n）^＊.