欧氏完备的α相对极值超曲面(英文)

Euclidean complete a relative extremal hypersurfaces

设 x:M→R^(n+1)是凸域ΩR^n 上的严格凸函数 x_(n+1)=f(x_1,…,x_n)定义的一个局部强凸超曲面.如果 f 是下面方程的解,则称 M 为α相对极值超曲面:△ρ=(2-nα)/2(‖▽ρ‖~2)/ρ,ρ:=(det((a^2f)/(ax_iax_j)))^(1/(n+2)).2007年,贾和李证明了存在一个仅依赖于维数 n 的正常数 K(n),如果|α|≥K(n),那么欧氏完备的α相对极值超曲面是椭圆抛物面.本文中我们利用 Calabi 度量给出了这个定理的一个简单证明.

Let X：M→R^n＋1 be a locally strongly convex hypersurface, given by the graph of a strictly convex function Xn＋1=f（x1,…,xn） defined on a convex domain Ω R^N. M is called an a relative extremal hypersurface, if f is a solution of △ρ=2-nα/2｜｜ρ｜｜^2/ρ,ρ：=（det（ ））^-1/n＋2 ,where △ and ｜｜·｜｜ denote the Laplacian and tensor norm with respect to the Calabi metric, respectively. In 2007, Jia and Li proved that Euclidean complete a relative extremal hypersurface must be an elliptic paraboloid for ｜α｜≥K（n）, where K（n） is a positive constant depending only on the dimension n. Here we will use the Calabi metric to give a relatively simple proof.