导函数性质及其应用

The Special Properties of Derivative Function and Its Application

处处有导数的函数(导函数)有两个很好的性质:(1)在一点处有极限,则该点必连续,若无极限则该点两侧或单侧必振荡;(2)可能有不连续点的导函数介值定理仍成立。如果函数某点的领域内处处可导,我们可得到如下三个推论:(1)当f′(x0+0)=f′(x0-0)时,则存在且连续。(2)当f′(x0+0)≠f′(x0-0),或至少有一个单侧极限为无穷时,函数在该点不可导,(3)当f′(x0+0)和f′(x0-0)中一个或同时振荡时,函数在该点可能可导。

The differentiable function is continuous or discontinuous with the mode of oscillation. And we get, if a function is differentiable in deleted neighborhood of x0 , the following consequences that （ 1 ） f^l （x0） exists （ or lim 0→x0 f^l（x） =f^l（x0）o）, when f^l（x0 ＋0） =f^l（x0 -0）,（2）f^l（x0） doesn＇texist,whenf（x0 ＋0） ≠f^l（x0 -0） , either of f^l （ x0 ＋ 0） and f^l （x0 -0） or both approach ∞ , and （ 3 ） f^l （x0 ） maybe exist, when either of f^l （x^0 ＋ 0） and f^l （x0 -0 ） or both discontinuous with the mode of oscillation.