混合自伴边条件下的正则Sturm-Liouville问题

Regular Sturm-Liouville Problems with Mixed Self-adjoint Boundary Conditions

(1)我们证明了自伴边条件的系数矩阵可以和下面的两种标准形式之一等价:D_1= D_2,其中a,b,c,d,θ,α,β均为实数,且 ab-6c=1,D_1代表了非分离(混合)边条件,D_2代表了分离边条件.(2)我们给出了由 D_1表示的自伴边条件下的 Sturm-Liouville(S-L)问题的特征值的渐近式,于是得到了任意自伴边条件下的正则 S-L 问题的特征值的渐近式;并且证明了当 b=c=0,|δ|<1时。或当 b 与 c 至少有一不等于0时,其充分大特征值是单重的,当 b=c=0,δ=±1时,其特征值可以全为二重的。其中 d=2cosθ/(a+d).通过特征值的渐近式发现,分离边条件下,其特征值分布是“均匀”的,而混合边条件下,其特征值可以呈现另一种形式的“均匀”分布.

In this paper,we obtain that the coefficient matrix of the self-adjoint boundary conditions of regular Sturm-LiouviUe (S—L)problems can be simplified into where a,b,c,d,θ,α,β are real numbers,and ad-bc=1. We aslo obtain the asymptotic formulae of the eigenvalues and eigenfunctions of regular S—L prob- lems with mixed self-adjoint boundary conditions.