最大公因子封闭集上幂矩阵行列式的整除性

Divisibility properties of determinants of power matrices on GCD-closed set

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因数的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似可定义幂LCM矩阵[S^a].作者证明了:若S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且a|b,如果n≤3,那么det(S^a)|det(S^b),det[S^a]|det[S^b];如果max{x_i}(?)<12,那么det(S^a)|det(S^b),det[S^a]|det[S^b].

Let S = {x1 ,x2, ……,xn } be a set of n distinct positive integers and a ≥ 1 an integer. The matrix having the a -th power （xi, xj ） a of the greatest common divisor of xi and xj as its i,j -entry is called a -th power greatest common divisor （GCD） matrix defined on S, denoted by （Sa）. Similarly one can define thea-th power LCM matrix [Sa]. In this paper, the authors prove that if S be a GCD-closed set of ndistinct positive integers and a｜b, then det（Sa）]det（Sb）;det[Sa][det[Sb]; If max{xi}xi∈S〈12, thendet（Sa） ｜ det（Sb）,det[Sa] ]det[Sb].