不动点集为P（2^m,2^m）∪P（2^m,2^m＋1）的对合

Involutions with Fixed Point Set P（2^m,2^m）∪P（2^m,2^m＋1）

设(M,T)是一个带有光滑对合T的光滑闭流形,T在M上的不动点集为F={x︱T(x)=x,x∈M},则F为M闭子流形的不交并.证明了当F=P(2m,2m)∪P(2m,2m+1)(m≥3)时,有且只有下列两种情形对合(M,T)存在:(1)w(λ1)=(1+a+b)2m+2,w(λ2)=(1+c+d)2m+1;(2)w(λ1)=(1+a)(1+a+b),w(λ2)=1+c+d,其中:λ→F=λ1→P(2m,2m)∪λ2→P(2m,2m+1)是F在M中的法丛,且λ→F与λ1→P(2m,2m)不协边;a∈H1(P(2m,2m);Z2),b∈H2(P(2m,2m);Z2),c∈H1(P(2m,2m+1);Z2),d∈H2(P(2m,2m+1);Z2)是生成元.

Let（M,T） be a smooth closed manifold with a smooth involution T whose fixed point set is F = { x ︱T（x） = x,x∈M},then F is the disjoint union of smooth closed submanifold of M.It has been proved that when F =P（2^m,2^m）∪P（2^m,2^m＋1）（m≥3）,（M,T） doesn＇t exist except in the following two cases：（1） w（λ1） =（1 ＋ a ＋ b） 2m＋2,w（λ2） =（1 ＋ c ＋ d） 2m＋1;（2） w（λ1） =（1 ＋ a）（1 ＋ a ＋ b）,w（λ2） = 1 ＋ c ＋ d,where λ→F = λ1→P（2^m,2^m） ∪λ2→P（2^m,2^m ＋ 1） is the normal bundle to F in M,and λ→F is not bordant to λ1 → P（2^m,2^m）,a ∈ H1（P（2^m,2^m）;Z2）,b ∈ H2（P（2^m,2^m）;Z2）,c∈H1（P（2^m,2^m ＋ 1）;Z2） and d∈H2（P（2^m,2^m ＋ 1）;Z2） are the generators.