尖点形式L函数的零点密度估计(Ⅱ)

Zero density estimates of L-functions associated with cusp forms (Ⅱ)

设k为一正偶数,T是充分大的正数,s=σ+it,3≤Q=T,q为一正整数,χ是模q的特征,f(z)=∞∑n=1a(n)e2πinz为Γ=SL2(z)的权为k的全纯尖点形式.设Nf(σ0,T,χ)表示函数Lf(s,χ)=∞∑n=1χ(n)a(n)n-s在带形区域k/2+(l/(log(Q2T))≤σ0≤σ≤((k+1)/2),|t|≤T内的零点个数.当k/2+1/3≤σ0≤((k+1)/2)时,由Dirichlet多项式理论得出了∑q≤Q∑χmodqNf(σ0,T,χ)的一个上界.

Suppose k be a positive even integer,T was a sufficiently large positive number.Let s = σ ＋ it,3≤Q = T.Let q be a positive integer and χ a Dirichlet character mod q.f（z） = ∞∑n=1 a（n） e2πinz was a holomorphic cusp form of weight k with respect to Γ = SL2（z） .Let Nf（σ0,T,χ） denoted the total number of zeros of Lf（s,χ） = ∞∑ n = 1χ（n） a（n） n-s in the region k/2 ＋（l/（log（Q2T）） ≤σ0 ≤σ≤（（k＋1）/2）,｜ t ｜ ≤T.An upper bound was given for the sum ∑q≤Q χm∑od qNf（σ0,T,χ） for k/2 ＋ 1/3 ≤σ0 ≤（（k＋1）/2）by the theories of Dirichlet polynomials.