多个矩阵多项式的秩

Ranks of Multi-matrix Polynomials

设d(x),f1(x),f2(x),…,fm(x)是数域P上的一元多项式,A是一个非零n阶方阵.如果对任意的i≠j都有(fi(x),fj(x))=d(x),且[fi(A),fj(A)]=0,则m=2或者d(A)=0.特别的,当d(x)=1时,多项式的个数只能是2个,且这2个矩阵多项式秩的和也恰好是n.

Let d（x）,f1 （x）,f2（x）,…… ,fm（x） be polynomials of one indeterminate on number field P ,A be an n＂ th order square matrix and A ≠ 0. If （fi（x） ,fi（x）） =d（x） and [fi （A）, f, （A）] = 0 for any i ≠j , thenrn=2 or d（A） =0. In particular, the number of polynomials is onlyrn=2, and the sum of the ranks of the two matrix polynomials is just n when d（x） =1.