关于广义超特殊p-群的自同构群

On the automorphism group of a generalized extraspecial p-group

用如下的方式确定了广义超特殊p-群G的自同构群.设|G|=p2n+m,|ζG|=pm,|N|=pl并且GNζG,其中n1且m2.AutnG表示AutG中平凡地作用在N上的所有自同构形成的正规子群.则(1)当p是奇素数时,AutG/AutnG≌Z(p-1)pl-1.进一步地,(i)如果G的幂指数是pm,则AutnG/InnG≌Sp(2n,p)×H.(ii)如果G的幂指数是pm+1,则AutnG/InnG～=(KSp(2n-2,p))×H,其中K是一个阶为p2n-1的超特殊p-群.这里H=1(如果m=l)或者Zpm-l(如果m>l).(2)当p=2时,AutG=AutnG(如果l=1)或者AutG/AutnG～=Z2l-2×Z2(如果l2).进一步地,(i)如果G的幂指数是2m,则AutnG/InnG≌Sp(2n,2)×H.(ii)如果G的幂指数是2m+1,则AutnG/InnG～=(KSp(2n-2,2))×H,其中K是一个阶为22n-1的初等Abel2-群.这里H=Z2m-2×Z2(如果l=1),1(如果l2并且l=m),或者Z2m-l(如果l2并且m>l).

In this paper,the automorphism group of a generalized extraspecial p-group G is determined.Assume that ｜G｜ = p2n＋m,｜ζG｜ = pm,｜N｜ = pl and G N ζG,where n 1 and m 2.Let AutnG be the normal subgroup of AutG consisting of all elements of AutG which act trivially on N.Then （1） When p is odd,AutG/AutnG ≌ Z（p-1）pl-1.Furthermore,（i） If the exponent of G is equal to pm,then AutnG/InnG ≌ Sp（2n,p） × H.（ii） If the exponent of G is equal to pm＋1,then AutnG/InnG ≌ （K Sp（2n - 2,p）） × H,where K is an extraspecial p-group of order p2n-1.Here H = 1 （if m = l） or Zpm-l （if m l）.（2） When p = 2,AutG = AutnG （if l = 1） and AutG/AutnG ≌ Z2l-2 × Z2 （if l 2）.Furthermore,（i） If the exponent of G is equal to 2m,then AutnG/InnG ≌ Sp（2n,2） × H.（ii） If the exponent of G is equal to 2m＋1,then AutnG/InnG ≌ （K Sp（2n - 2,2）） × H,where K is an elementary abelian 2-group of order 22n-1.Here H = Z2m-2 × Z2 （if l = 1）,1 （if l 2 and l = m）,or Z2m-l （if l 2 and m l）.