分形空间中Cauchy 列的研究

Study on Cauchy Sequence in Space of Fractal

对于完备度量空间（ Ｘ，ｄ） ，给出了相应的分形空间（ Ｈ（ Ｘ） ，ｈ） 中Ｃａｕｃｈｙ 列｛ Ａｎ｝ 的一个必要条件，即∪∞ｎ＝１ Ａｎ 为（ Ｘ，ｄ） 的完全有界集，证明了该条件亦是分形空间中单调增加列｛ Ａｎ｝ 成为Ｃａｕｃｈｙ 列的充分必要条件，并给出反例，说明了当｛ Ａｎ｝ 不具有单调增加性时，此结论中的充分性一般不真。将 Ｘ＝Ｒｎ 情形下分形空间（ Ｈ（ Ｒｎ） ，ｈ） 中Ｃａｕｃｈｙ 列｛ Ａｎ｝ 的极限表示∩∞ｎ＝ １ ∪∞ｍ ＝ ｎＡｍ ，向 Ｘ 为一般完备度量空间所对应的情形作了推广，进而得到了带凝聚的双曲迭代函数系｛ Ｘ；ｗ０ ，ｗ １ ，…，ｗ Ｎ｝ 的吸引子通过其凝聚集Ｃ的表示：∪∞ｎ＝１ Ｗｏｎ（ Ｃ） ，其中Ｘ 为一般完备度量空间，映射 Ｗ：Ｈ（ Ｘ） →Ｈ（ Ｘ） 定义为 Ｗ（ Ｂ） ＝ ∪Ｎｉ＝１ ｗｉ（Ｂ） ，Ｂ∈Ｈ（ Ｘ） 。而记号 Ｗｏｎ 表示Ｗ 的ｎ 次复合，即 Ｗｏ０（ Ｃ） ＝ΔＣ， Ｗｏｎ（ Ｃ） ＝Δ Ｗ（ Ｗｏ（ ｎ － １）（ Ｃ）） ，ｎ ＝ １ ，２ ，…。

The necessary condition for cauchy sequence { A n } in the space of fractals ( H(X),h ) corresponding to the complete metric apace X —— i.e., that ∪∞ n =1 A n is totally bounded in X —— was given. The assertion that the above condition is also a necessary and sufficient condition to become a cauchy sequence for an increasing sequence { A n } was shown, and a counterexample was given to explain that the sufficiency in the assertion is not true if { A n } is not increasing. Furthermore, the representation formula ∩∞ n =1∪∞ m=nA m for limit of cauchy sequence { A n } in ( H(R n),h ) was extended to ( H(X),h ), where X is a complete metric space, and the representation formula for the attractor A of the hyperbolic iterated function system with condensation { X;w 0, w 1,…, w N } was obtained in terms of the associated condensation set C , namely A =∪∞ n =0 W on (C ), where X is a complete metric space, W:H(X)→H(X) is defined by W(B )=∪ N i =1 w i (B), for all B ∈ H(X ), and the symbol W on represents the nth iteration of W , i.e., W o 0 ( C )=Δ C,W on (C )=Δ W(W o(n-1) (C )) for n =1,2,…。