关于方程S_x(n)=S_y(3)

On the Equation S x(n)=S y(3)

对于正整数 ｍ ，ｎ（ ｎ ≥３） ，设 Ｓｍ（ ｎ） 是第 ｍ 个ｎ 角数，本文证明了：当ｎ ＞ ６ 且ｎ － ２ 是平方数时，方程 Ｓｘ（ ｎ） ＝ Ｓｙ（３） 无正整数解（ ｘ ，ｙ） ；当ｎ ＞ ６ ，２ ｎ 且ｎ － ２ 非平方数时，该方程有无穷多组正整数解（ｘ ，ｙ） ．

For any positive integers m,n with n ≥3,let S m(n) denote the m th n gonal number.We prove that(ⅰ) if n >6 and n -2 is a square,then the equation S x(n)=S y(3) has no positive integer solution ( x,y );(ⅱ)if n >6, 2  n and n -2 is not a square,then the equation has infinitely many positive integer solutions ( x,y ).