一个关于自然数数码平方和的问题

ON THE SUM OF EACH DIGIT'S SQUARE OF INTEGER

数组４ ，１６ ，３７ ，５８ ，８９ ，１４５ ，４２ ，２０ ，前一个的各位数码平方和等于相邻后一个数，最后一个数的各位数码平方和等于第一个数且证明了对任何给定自然数ｎ ，若其各位数码平方之和记为 Ａ（ ｎ）１ ， Ａ（ ｎ）１ 的各位数码平方之和记为 Ａ（ ｎ）２ ，…， Ａ（ ｎ）ｋ－１ 的各位数码平方之和记为 Ａ（ ｎ）ｋ ，…，构成一个数列｛ Ａ（ ｎ）ｋ ｝ ，则一定存在ｋ０ ，使当ｋ ≥ｋ０ 时，或者 Ａ（ ｎ）ｋ ＝ １ 或者 Ａｎｋ 与４ ，１６ ，３７ ，５８ ，８９ ，１４５ ，４２ ，２０ 之中某个相等．

The sequence of non_negative integers 4,16,37,58,59,145,42,20, satisfy that the sum of each digit's square of the front one is equal to the next one, the sum of each digit's square of the last one is equal to the first one. For every natural number n , let A (n) 1 denote the sum of each digit;s square of n , and let A (n) k denote the sum of each digit's square of A (n) k-1 , …, So A (n) k form a sequence. Then there exists an integer k 0 , such that as k≥k 0, A (n) k=1 or A (n) k is equal to one of the sequence 4,16,37,58,89,145,42,20.