特征值、不等式与遍历理论

概述 1992～ 1999年间所取得的研究进展 .主要有 3方面成果 .首先是关于欧氏空间中的椭圆算子、黎曼流形上的拉氏算子和马氏链的谱隙 (即第一非平凡特征值 )下界的新的、统一的变分公式 .这里 ,所使用的是概率方法———耦合方法 .新公式乃古典变分公式的对偶 .而后者等价于Poincar啨不等式 .与此紧密相关的有对数Sobolev不等式、Nash不等式和Liggett不等式等 .对于这些不等式 ,采用来自黎曼几何的Cheeger方法做了统一的处理 .这两方面的工作大多是笔者与王凤雨一道完成的 .更进一步 ,给出了以上诸不等式与传统的 3种遍历性之间的关系图 .丰富了马氏过程的遍历理论 .关于所用方法的详细解释 。