有限域上幂剩余正规元的存在性

On the Existence of Power Residual Normal Elements Over Finite Fields

GF(q)是q个元的有限域,q是素数的方幂,n是正整数,GF(q^n)为GF(q)的n次扩张.用指数和估计的方法给出了3种情形下幂剩余正规元存在的充分条件,即(1)GF(q^n)中存在元ξ为GF(q)上的幂剩余正规元;(2)GF(q^n)中存在元ξ与ξ^(-1)同时为GF(q)上幂剩余正规元;(3)对GF(q^n)~*中任意给定的非零元a和b,GF(q^n)中存在元ξ与ξ^(-1)同时为GF(q)上d次幂剩余正规元,且满足Tr(ξ)=a,Tr(ξ^(-1))=b.

Let GF（q） denote a finite field with q elements,q be a prime power,n a positive integer,and GF（q^n） the n-th Galois extension of GF（q）.By using exponential sums,some sufficient conditions are given for the existence of certain power residual normal elements in the following three cases：（1）ξ∈GF（q^n） is a power residual normal element in GF（q）;（2） Bothξandξ^（-1）∈GF（q^n） are power residual normal elements in GF（q）;（3） For arbitarily given two elements a,b in GF（q^n）^＊,the existence of the elementξsuch that bothξandξ^（-1） are d-th power residual normal elements in GF（q） satisfying Tr（ξ） = a,Tr（ξ^（-1）） = b.