摘要
本文介绍一个关于四面体内任一点的新不等式及其应用.定理设 P 为四面体 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>A<sub>4</sub>内任一点,记顶点 A<sub>i</sub> 对面三角形的面积为 S<sub>i</sub>（1≤i≤4）,四面体体积为 V,则sum from i=1 to 4 S<sub>i</sub>·PA<sub>i</sub>≥9V.①证明:如图,记PA<sub>i</sub>=x<sub>i</sub>,点 P 到 A<sub>i</sub>对面的距离记为 r<sub>i</sub>,四面体的高 A<sub>i</sub>H<sub>i</sub>=h<sub>i</sub>,其中1≤i≤4,则易知 x<sub>i</sub>+r<sub>i</sub>≥h<sub>i</sub>,∴S<sub>i</sub>（x<sub>i</sub>+r<sub>i</sub>）≥S<sub>i</sub>h<sub>i</sub>=3V,即 S<sub>i</sub>x<sub>i</sub>+S<sub>i</sub>r<sub>i</sub>≥3V.求和得:sum from i=1 to 4（S<sub>i</sub>x<sub>i</sub>+S<sub>i</sub>r<sub>i</sub>）≥12V.∵sum form i=1 to 4 S<sub>i</sub>r<sub>i</sub>=3V,∴sum from i=1 to 4 S<sub>i</sub>x<sub>i</sub>≥9V,∴sum from i=1 to 4 S<sub>i</sub>·PA<sub>i</sub>≥9V.例1 设四面体 A<sub>1</sub>A<sub>2</sub>A<sub>3</sub>A<sub>4</sub>
